Ульяна
20.3.2002 13:58
Гаусс Карл Фридрих [1777 - 1855]

Крамер.
Немецкий математик, астроном, физик и геодезист, член Лондонского королевского общества (1804), Парижской академии (1820), Петербургской академии наук (1824). Родился в Брауншвейге в семье водопроводчика. В раннем детстве обнаружил выдающиеся математические способности. Учился в Гёттингенском университете (1795 - 1798). После защиты диссертации получил право на приват-доцентуру в Брауншвейге (1799). С 1807 г. - профессор математики и астрономии в Гёттингенском университете, директор астрономической обсерватории. Работы Гаусса оказали большое влияние на развитие алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии, теории вероятностей, геодезии, небесной механики, астрономии, теории электричества и магнетизма Гаусс предложил несколько вариантов доказательства основной теоремы алгебры (любой многочлен с комплексными коэффициентами имеет комплексный корень), построил теорию комплексных чисел. Он исследовал уравнения х" - 1 = 0, установил связь между методами решения этих уравнений и построением правильных многоугольников. Нашёл все те значения n, для которых правильный n-угольник можно построить циркулем и линейкой. В частности, решив уравнение x17 - 1 = 0, Гаусс дал построение правильного 17-угольника с помощью циркуля и линейки. В 1818 г. Гаусс пришёл к мысли о возможности построения неевклидовой геометрии. Опасаясь, что его идеи не будут поняты, он далее не разрабатывал их и не публиковал. К публикациям Н. И. Лобачевского по неевклидовой геометрии Гаусс отнёсся с большим вниманием. По инициативе Гаусса Н. И. Лобачевский был избран членом-корреспондентом Геттингенского учёного общества. Ряд работ по физике Гаусс выполнил совместно с В. Вебером (1804-1891). Вместе с ним он создал абсолютную систему электромагнитных единиц (1832), сконструировал первый в Германии электромагнитный телеграф (1833).

Швейцарский математик. Родился и получил образование в Женеве. С 1724 г. преподавал математику в Женевской кальвинистской академии (с 1734 г. - профессор). Основные направления исследований - высшая алгебра и аналитическая геометрия. Заложил основы теории определителей, установил правило решения систем n линейных уравнений с n неизвестными, исследовал алгебраические линии высших порядков (особые точки, кривизну и т. п.).

Ульяна
20.3.2002 13:57
Гаусс Карл Фридрих [1777 - 1855]

Немецкий математик, астроном, физик и геодезист, член Лондонского королевского общества (1804), Парижской академии (1820), Петербургской академии наук (1824). Родился в Брауншвейге в семье водопроводчика. В раннем детстве обнаружил выдающиеся математические способности. Учился в Гёттингенском университете (1795 - 1798). После защиты диссертации получил право на приват-доцентуру в Брауншвейге (1799). С 1807 г. - профессор математики и астрономии в Гёттингенском университете, директор астрономической обсерватории. Работы Гаусса оказали большое влияние на развитие алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии, теории вероятностей, геодезии, небесной механики, астрономии, теории электричества и магнетизма Гаусс предложил несколько вариантов доказательства основной теоремы алгебры (любой многочлен с комплексными коэффициентами имеет комплексный корень), построил теорию комплексных чисел. Он исследовал уравнения х" - 1 = 0, установил связь между методами решения этих уравнений и построением правильных многоугольников. Нашёл все те значения n, для которых правильный n-угольник можно построить циркулем и линейкой. В частности, решив уравнение x17 - 1 = 0, Гаусс дал построение правильного 17-угольника с помощью циркуля и линейки. В 1818 г. Гаусс пришёл к мысли о возможности построения неевклидовой геометрии. Опасаясь, что его идеи не будут поняты, он далее не разрабатывал их и не публиковал. К публикациям Н. И. Лобачевского по неевклидовой геометрии Гаусс отнёсся с большим вниманием. По инициативе Гаусса Н. И. Лобачевский был избран членом-корреспондентом Геттингенского учёного общества. Ряд работ по физике Гаусс выполнил совместно с В. Вебером (1804-1891). Вместе с ним он создал абсолютную систему электромагнитных единиц (1832), сконструировал первый в Германии электромагнитный телеграф (1833).

Швейцарский математик. Родился и получил образование в Женеве. С 1724 г. преподавал математику в Женевской кальвинистской академии (с 1734 г. - профессор). Основные направления исследований - высшая алгебра и аналитическая геометрия. Заложил основы теории определителей, установил правило решения систем n линейных уравнений с n неизвестными, исследовал алгебраические линии высших порядков (особые точки, кривизну и т. п.).

Wolf( pondmi)
20.3.2002 13:55
. Вычисление решения системы линейных уравнений по формулам Крамера.

Метод Гаусса применим для решения системы линейных алгебраических уравнений c невырожденной матрицей системы. Идея метода Гаусса состоит в том, что систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных x1 , x2 , ..., xn

приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей

решение которой находят по рекуррентным формулам:

xn =dn , xi = di -S nk=i+1 cik xk , i=n-1, n-2, ...,1.

Матричная запись метода Гаусса.

Прямой ход метода Гаусса: приведение расширенной матрицы системы

к ступенчатому виду

с помощью элементарных операций над строками матрицы (под элементарными операциями понимаются следующие операции:

перестановка строк;
умножение строки на число, отличное от нуля;
сложение строки матрицы с другой строкой, умноженной на отличное от нуля чиcло).
Обратный ход метода Гаусса: преобразование полученной ступенчатой матрицы к матрице, в первых n столбцах которой содержится единичная матрица
,
последний, (n+1)-й, столбец этой матрицы содержит решение системы.
ПРИМЕР 3. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

Андрей Пучков
20.3.2002 13:52
По первому заданию я ничего не нашел.

Качина Анна
20.3.2002 13:51
Карл Фридрих Гаусс (Carl Friedrich Gauss, 1777 - 1855) - знаменитый немецкий математик. Род. 23 апреля 1777 года в Враунтвейге и с раннего возраста обнаружил выдающиеся математическия способности. Рассказывают, что, будучи трех лет, Гаусс решал числовые задачи и любил чертить геометрически фигуры. Юный вычислитель был представлен герцогу Карлу-Вильгельму-Фердинанду Брауншвейгскому и нашел в нем покровителя, принявшего живое участие в его воспитании.

В 1784 г. Гаусс поступил в начальную школу в Брауншвейге, а в 1789 г. в коллегию того же города. В 1794 г. Гаусс поступил в геттингенсмй университет, где занимался под руководством профессора Кестнера. В 1795 г. Гаусс отправился в Гедьмштатд, где пользовался советами известного математика Пфаффа. Там же написана им докторская диссертация, в которой дано новое доказательство теоремы, что всякое алгебраическое уравнение имеет корень.

Возвратясь в Брауашвейг, Гаусс начинает публиковать многочисленный ряд мемуаров, которые в короткое время дали молодому математику европейскую известность. Еще не достигнув 25-ти лет, Гаусс выступил с знаменитым трактатом по теории чисел: "Disquisitiones arithmeticae" (1801). По богатству материала, ряду прекрасных открытий, разнообразию и остроумию доказательств это сочинение до сих пор считается основным при изучении теории чисел. Между прочим, укажем на прекрасную теорию двучленных уравнений в этом сочинении, показывающую, что можно при помощи циркуля и линейки вписать в крут правильный семнадцатиугольник.

Продолжая занятия теорией чисел, а также и другими отраслями анализа, Гаусс публикует ряд солидных работ по астрономии. В 1807 году Гаусс получает приглашение в петербургскую академию наук, но, по настоянию Ольберса, отказывается и 9 июня этого года назначается директором обсерватории Гёттингена и профессором университета того же города. В этих двух должностях Гаусс оставался до конца своей долгой и трудовой жизни.

С этого времени Гаусс посвящает большую часть своего времени астрономическим работам, продолжая впрочем заниматься также различными частями анализа. Из астрономических работ выдающейся является "Theoria motus corporum coelestium" - мемуар, заключающий массу ценных замечаний для вычисления элементов планетных и кометных орбит. Из приемов, предложенных Гауссом для удобства астрономических выкладок, мы укажем на введение в употребление логарифмов сумм и разностей.

Трактуя вопросы теоретической астрономии и небесной механики в ряде замечательных работ, Гаусс не забывал и практической астрономии, причем его работы имели целью развить способы получать из наблюдений вероятнейшие результаты; с этой целью Гауссом развит особенный способ, известный под названием способа наименьших квадратов.

Из чисто математических работ укажем на следующие: "Summatio quarundam serierium singularium" (1808 - 1810); "О гипергеометрическом ряде" (1811 - 13); "об определении наибольшего эллипса, вписанного в данный четырехугольник" (1810); "О протяжении эллипсоидов" (1838); "Новый способ приближенного вычисления интегралов"(1814); "определение притяжения на точку планеты, масса которой распределена по орбите" (1818) (эта работа имеет связь с теорией вековых возмущений); "Мемуары по теории биквадратичных вычетов, в которых впервые введено в теорию чисел понятие о целых комплексных числах вида a+bi; "Disquisitiones generales circa superficies curvas" (1827), с теоремой о неизменяемости кривизны при изгибании поверхности без складок и разрыва; "об изображении одной поверхности на другой с подобием в бесконечно малых частях" (1828), с прибытием в Геттинген Вебера, Гаусс заинтересовался земным магнетизмом.

Первый мемуар Гаусса по теории магнетизма был "Intensitas vis magneticae terrestris ad mensuram absolutam revocata" (1833). Работая вместе с Вебером, Гаусс изобрел новый прибор для наблюдения земного магнетизма в его изменений. В 1833 г. им была построена в Геттингене образцовая магнитная обсерватория и основано общество под названием: "Magnetisches Verein", издававшее в 1836-1839 гг. журнал "Resultate der Beobachtungen des Magnetischen Vereins".

В 1838 и 1839 гг. помещены в этом журнале два важных мемуара Г.: "Allgemeine Theorie der Erdmagnelismus" и "Allgemeine Lehrsatze in Beziebung auf die im verkehrten Verhaltnisse des Quadrats der Entfernung virkenden Anziehungs und "Abstossungskrafte". Инструменты и методы наблюдения геттингенской обсерватории получили всемирное распространение. Из работ по физике укажем еще на "Dioptrische Untersuchungen" (1840). Замечательно, что в 1833 г. геттингенская магнитная обсерватория была соединена с городом Нейбургом проволокой, по которой давались сигналы при помощи гальванического тока, по телеграфной системе Гаусса .

С 1821 г. Гаусс принимал участие в датской и ганноверской триангуляции, причем увеличил точность результатов важными усовершенствованиями. Между прочим, им изобретен инструмент называемый гелиотропом. Под конец своей плодотворной деятельности Гаусс занимался геодезией и издал по этому предмету два мемуара под заглавием: "Untersuchungen uber Gegeaslande der hoheren Geodasie" (1845-1847). Умер 23 февраля 1855 г.

В Гауссе мы видим человека с универсальными математическими способностями; им затрагивались почти все главные отрасли чистой и прикладной математики, причем всюду девизом автора было: pauca sed matura (немного, но зрело); он оставил неопубликованными много работ, считая их не достаточно обработанными. Гаусс всегда стремился к оригинальности; затрагивая уже ранее разрабатывавшийся вопрос, казалось, что Гаусс не знаком с предшествовавшими работами, так оригинальны приемы и формы, которые Гаусс придавал изложению.

К сожалению, эта оригинальность метода при излишней лаконичности изложения делает многие места сочинений Гаусс весьма трудными для читателя. Замечательная способность Гаусса к числовым выкладкам обнаружилась во многих его работах, о чем свидетельствуют посмертные рукописи, как, например, таблица превращения в десятичные обыкновенных дробей со знаменателем меньшим 997. Большого труда стоили автору также таблицы для счета классов квадратичных форм и разложения на множителей чисел вида: а2+1,a2+4,a2+9,...,a2+81.

В 1863 - 1871 гг. королевское ученое общество в Гёттингене издало под редакцией Шеринга полное собрание сочинений Гаусса , в семи томах. В 1880 г. Гауссу поставлена в Брауншвейге бронзовая статуя. Cp. Winnecke, "G. Ein Urnris seines Lebeni n. Wirkens" (1877): Hanselmann, Zwolf Kapitel ans seinern Leben" (1878). Его переписка: с Шумахером издана в 1860 - 1862 гг., с Гумбольдтом - в 1877 г. и с Бесселем-в 1880 г.

Зюзинцев Алексей( zuzale1@pochtamt.ru)
20.3.2002 13:50
К.Ф.Гаусс

К.Ф. Гаусс, будучи уже знаменитым математиком, почти в конце своей жизни задумался над последствиями конечности скорости передачи действия на расстояние и после 15 лет раздумий и работы вывел в 1835 г. закон силы взаимодействия, зависящий от взаимной скорости взаимодействующих тел, для электродинамики частица – частица [1].

Гениальный математик, он оказался и гениальным физиком. Он рассуждал следующим образом. Если скорость распространения конечна, следовательно, взаимодействующие тела, движущиеся относительно друг друга со скоростью распространения, не могут взаимодействовать, поскольку потенциал взаимодействия от каждого тела не сможет достигать другого, т.е. будет полностью запаздывать. А это означает, что существует неизвестный закон силы взаимодействия от скорости, два крайних случая которого известны. Первый случай закона – когда относительная скорость взаимодействующих тел равна нулю, и при этом законом взаимодействия является закон Кулона; второй, – когда скорость между телами равна скорости взаимодействия, и тогда сила взаимодействия равна нулю. Это было главным отправным логическим основанием, мысленным моделированием состояний движения материи, закрепленным в математической форме и явилось громадным шагом вперед по сравнению с чистой эмпирикой Галилея и Ньютона.

Попов Алексей.
20.3.2002 13:49
К.Ф. Гаусс, будучи уже знаменитым математиком, почти в конце своей жизни задумался над последствиями конечности скорости передачи действия на расстояние и после 15 лет раздумий и работы вывел в 1835 г. закон силы взаимодействия, зависящий от взаимной скорости взаимодействующих тел, для электродинамики частица – частица.

Попов Алексей.
20.3.2002 13:46
Математика – это жернов: что в него заложишь, то он и перемелет
Гаусс

Назаров Ринат
20.3.2002 13:46
Карл Фридрих Гаусс
(30 апреля 1777, Брауншвейг, Германия – 23 февраля 1855, Геттинген, Германия).

Немецкий математик, астроном, геодезист и физик.

Юный гений.
Ещё при жизни Гаусс был удостоен почётного титула «принц математиков». Он был единственным сыном бедных родителей. Школьные учителя были так поражены его математическими и лингвистическими способностями, что обратились к герцогу Брауншвейгскому с просьбой о поддержке, и герцог дал деньги на продолжение учёбы в школе и в Геттингенском университете (1795-1798). Степень доктора Гаусс получил в 1799 году в университете Хельмштедта.

«Арифметические исследования».
Первое же обширное сочинение Гаусса «Арифметические исследования» (опубликовано в 1801) на многие годы опередило последующее развитие двух важных разделов математики – теории чисел и высшей алгебры. Из множества важных и тонких результатов, приведённых в «Арифметических исследованиях», следует отметить подробную теорию квадратичных форм и первую доказательство квадратичного закона взаимности. В конце сочинения Гаусс приводит полную теорию уравнений деления круга и, указывая их связь с задачей построения правильных многоугольников, решает стоявшую с античных времён проблему о возможности построения циркулем и линейкой правильного многоугольника с заданным числом сторон. Гаусс указал все числа, при которых построение правильного многоугольника с помощью циркуля и линейки возможно. Это пять так называемых гауссовых простых чисел: 3, 5, 17, 257 и 65337, а также умноженные на любую степень двойки произведения различных (не повторяющихся) гауссовых чисел. Например, построить с помощью циркуля и линейки правильный (3х5х17)-угольник можно, а правильный 7-угольник нельзя, так как семёрка не гауссово простое число. Разумеется, доказанный Гауссом результат – пример так называемой чистой теоремы существования; утверждается, что построить с помощью циркуля и линейки правильный многоугольник с «допустимым» числом сторон можно, но ничего не говорится о том, как это сделать. Гаусс предложил также явный способ построения с помощью циркуля и линейки правильного 17-угольника. Это событие Гаусс посчитал столь значительным, что отметил его в «Дневнике» (запись от 30 марта 1796) и завещал высечь правильный 17-угольник на своём надгробии (воля Гаусса была исполнена).

Качина Анна
20.3.2002 13:26
2 этап.Задание первое: - 4*x + y = 4
- 4*x + y = 2

Попов Алексей.
20.3.2002 13:24
Решить систему уравнений - это значит найти переменные, при подстановке которых можно решить систему уравненийю

Ульяна
20.3.2002 13:24
Владимир Михайлович Тихомиров,Архимед, Я вдруг обнаружил маленькую колонну, вершина
которой поднималась из зарослей. На ней были
изображены шар и цилиндр, которые я искал.
Я тотчас же сказал сопровождавшим меня, что перед
нами, несомненно, могильный памятник Архимеда.Герон,Первый ученый - геометр.

- Что есть больше всего на свете? - Пространство.
- Что больше всего? - Ум.
- Что мудрее всего? - Время.
- Что приятнее всего? - Достич желаемого.
Фалес.Лобачевский, Николай Иванович - великий математик , один из творцов неевклидовой геометрии. Лопиталь Гийом Франсуа Антуатуан [1661 - 1704].

Wolf( pondmi)
20.3.2002 13:24
Великие математики прошлого и их великие теоремы

В. ТИХОМИРОВ
(«Квант», 2000, N 2)

ЭТА СТАТЬЯ ПОСВЯЩЕНА истории математики. Из творчества величайших среди великмх — Архимеда, Ферма, Эйлера, Лагранжа и Паусса — я отобрал или те из великих достижений, которыми они больше всего гордились сами, или же те, благодаря которым они более всего прославились в научном мире. Фундаментальные теоремы, о которых пойдет речь, не только важны сами по себе, но изумительно красивы. И пусть каждый из вас, мои читатели, входя в храм науки, оценит ее величие и красоту и укрепится в желании посвятить ей свою жизнь.

Архимед и его формула для объема шара

Я вдруг обнаружил маленькую колонну, вершина которой поднималась из зарослей. На ней были изображены шар и цилиндр, которые я искал. Я тотчас же сказал сопровождавшим меня, что перед нами, несомненно, могильный памятник Архимеда.

Цицерон

Архимед (ок. 287 — 212 до н.э.) — величайший ученый Древнего мира. Имя его овеяно легендами. Мы восклицаем: «Эврика!» — выражая, как Архимед, восторг по поводу своей удачи. Каждый знает, что он может перевернуть мир, если найдется надежная точка опоры. У каждого перед глазами сцена: убийца с обнаженным мечом и сидящий старец, восклицающий: «Не трогай моих чертежей!»

Архимед общепризнанно считается одним из величайших гениев в истории человечества. Его вклад в математику огромен. Именно он придумал формулу для определения площади треугольника по его сторонам (она известна нам как формула Герона). Не кто иной, как Архимед первый дерзнул исчислить размеры окружающего нас мира. Он определил границы для числа доказав, что

Вплотную он подошел к понятию определенного интеграла, опередив человечество почти на два тысячелетия. Ему принадлежат точные формулировки законов природы, сохранившиеся в неприкосновенности на все времена. Но более всего он гордился найденной им формулой объема шара, и в память об этом потомки изобразили шар и цилиндр на его могильном камне.

Докажем, следуя идеям Архимеда, тот результат, который доставил ему высшую творческую радость.

Теорема 1. Объем шара радиуса 1 равен

Доказательство. Мы будем опираться на следующие две формулы стереометрии: объем цилиндра с радиусом основания R и высотой Н равен и объем конуса с радиусом основания R и высотой H равен Эта последняя формула также принадлежит Архимеду.

А теперь перейдем к доказательству. Я надеюсь, вы еще не забыли детских игрушек, которые называются пирамидками. Вот как они устроены: имеются подставка с вертикальной палочкой и набор колечек разного размера. Надо нанизать эти колечки на палочку так, чтобы размеры колечек увеличивались по мере приближения к подставке. Тогда получится фигура, похожая на конус.

Доказательство теоремы Архимеда (по Архимеду) очень легко понять с помощью подобных игрушек. Только надо сделать не одну — коническую, а три разных — цилиндрическую (когда колечки будут иметь радиус 1, сами будут тоненькими- претоненькими, а если собрать их все вместе, то они образуют цилиндр высоты 1), коническую (из таких же тоненьких колечек, но разных радиусов, из которых можно собрать «почти» конус высоты и радиуса основания, равных 1) и «полушаровую» (опять-таки из таких же тоненьких колечек, из которых можно собрать «почти» полушар радиуса 1). При этом все колечки должны быть сделаны из одинакового материала.

Вслед за Архимедом, возьмем аптекарские весы с плоскими чашами и поставим на одну чашу собранную из колечек игрушку-цилиндр, а на другую — конус и полушар, причем конус поставим основанием на чашу весов, а полушар — «на голову», чтобы плоское основание полушара было сверху и расположено горизонтально.

Пусть высоты, колечек одинаковы и равны где очень малое число. Подсчитаем, каков объем колечек, находящихся на одной и той же высоте h. У цилиндрического колечка этот объем равен у конического а у «полушарного» (ибо радиус колечка у конуса равен 1 - h, a у полушара, по теореме Пифагора, Суммарный объем на каждой из чаш весов оказался одинаковым. Но если очень мало, то коническая игрушка будет почти неотличима от конуса, полушаровая — от полушара, а цилиндрическая — всегда цилиндр.

В пределе получаем, что объем полушара радиуса 1 равен объему цилиндра с радиусом основания и высотой, равными 1, минус объем конуса с радиусом основания и высотой, также равными 1. Откуда и следует теорема 1.

Теорема Ферма—Эйлера о представлении простых чисел в виде суммы двух квадратов

Быть может, потомство будет признательно мне за то, что я по- казал ему, что Древние знали не все.

Пьер Ферма

Пьер Ферма (1601—1665) — человек удивительной судьбы; один из величайших математиков всех времен, он не был, в современной терминологии, «профессиональным» математиком. По профессии Ферма был юристом. Он получил великолепное гуманитарное образование и был выдающимся знатоком искусства и литературы. Всю жизнь он проработал на государственной службе, последние 17 лет был советником местного парламента в Тулузе.

К математике его влекла бескорыстная и возвышенная любовь. В те годы не было еще математических журналов, и Ферма почти ничего не напечатал при жизни. Но он много переписывался со своими современниками, и посредством этой переписки некоторые его достижения становились известными. Пьеру Ферма повезло с детьми: сын обработал архив отца и издал его.

«Я доказал много исключительно красивых теорем», — сказал как-то Ферма. Особенно много красивых фактов удалось ему обнаружить в теории чисел, которую, собственно, он и основал.

Он внес огромный вклад в зарождающиеся новые направления, определившие последующее развитие науки: математический анализ и аналитическую геометрию. Мы признательны Ферма за то, что он приоткрыл для нас мир, полный красоты и загадочности.

Следующая теорема, несомненно, принадлежит к числу высших достижений математики XVII — XVIII веков.

Взгляните на несколько первых нечетных простых чисел:

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...

Числа 5, 13, 17 представимы в виде суммы двух квадратов: 5 = 22 + 12, 13 = 22 + З2, 17 = 12 + 42, а остальные числа (3, 7, 11, 19) эти свойством не обладают. Можно ли объяснить этот феномен? Ответ на этот вопрос дает

Теорема 2. Для того чтобы нечетное простое число было представимо в виде суммы двух квадратов, необходимо и достаточно, чтобы оно при делении на 4 давало в остатке 1.

Немного истории

На рождество 1640 года в письме от 25 декабря Пьер Ферма извещал без доказательства знаменитого Мерсенна, друга Декарта и главного посредника в переписке ученых того времени, о том, что «всякое простое число, которое при делении на четыре дает единицу, единственным способом представимо как сумма двух квадратов».

Спустя почти двадцать лет после письма Мерсенну в письме к Каркави, отправленном в августе 1659 года, Ферма приоткрывает замысел доказательства сформулированной выше теоремы. Он пишет, что основная идея доказательства состоит в методе спуска, позволяющем из предположения, что для какого-то простого числа вида 4n + 1 заключение теоремы неверно, получить, что оно неверно и для меньшего числа того же вида и т.д., пока мы не доберемся до числа 5, когда окончательно придем к противоречию.

Первые доказательства, которые впоследствии были опубликованы, найдены Эйлером между 1742 и 1747 годами. Причем, желая утвердить приоритет Ферма, к которому он испытывал чувства глубочайшего уважения, Эйлер придумал доказательство, соответствующее описанному выше замыслу Ферма.

Воздавая должное обоим великим ученым (об Эйлере речь еще впереди), мы называем эту теорему теоремой Ферма — Эйлера.

Есть свойство, присущее почти всякому прекрасному математическому результату, равно как и почти всякой неприступной и прекрасной горной вершине: его можно штурмовать с разных сторон, и все пути доставляют наслаждение тому, кто не устрашится ими последовать.

В своей статье в «Кванте» («Квант» №10 за 1991 г.) я привел три совершенно различных доказательства. Одно из них было придумано Лагранжем в XVIII веке, другое — Германом Минковским в XIX веке, а третье — нашим современником Даном Цагиром. Есть также очень красивое доказательство, использующее теорию делимости чисел вида n + mi, где n, m, — целые.
(См. об этом: Шнирельман Л. Г. Простые числа. — М.: ГИТТЛ, 1940; Сендеров В., Спивак А. Суммы квадратов и целые гауссовы числа// «Квант», 1999. №3.)
Здесь я ограничусь лишь первым из названных.

Доказательство Лагранжа

Это доказательство опирается на следующую лемму Вильсона: если p — простое число, то число (p - 1)! + 1 делится на p.

Чтобы не отвлекаться на доказательство этого вспомогательного факта, продемонстрирую лишь основную идею доказательства на примере простого числа 13. Для любого целого числа найдется такое число что x . y при делении на 13 дает в остатке 1. Действительно,

(13-1)! = 12! = (2 . 7)(3 . 9)(4 . 10)(5 . 8) (6 .11) .12,

и при этом все произведения в скобках при делении на 13 дают в остатке 1, а значит, число 12! при делении на 13 даст в остатке 12, откуда (для выбранного нами числа 13) следует утверждение леммы Вильсона.

Из леммы Вильсона извлечем такое следствие: если p — простое число вида p = 4n + 1, где n — натуральное число, то ((2n)!)2 + 1 делится на p. Действительно, из леммы Вильсона следует, что (4n)! + 1 делится на p, и теперь необходимое утверждение вытекает из следующей выкладки:

Обозначим (2n)! через N. Мы доказали, что

Теперь нам предстоит преодолеть основную трудность. Рассмотрим все пары целых чисел (m, s) такие, что (где через обозначена целая часть числа наибольшее целое число, не превосходящее Число таких пар Значит, по крайней мере для двух различных пар (m1, s1) и (m2, s2) имеем: т.е. число a + Nb, где a = m1 - m2, b = s1 - s2, делится на p. При этом Но тогда число a2 - N2b2 = (a + Nb)(a - Nb) делится на p. Учитывая, что получим, что a2 + b2 делится на p, т.е. a2 + b2 = rp, где r — натуральное число ибо иначе пары были бы одинаковы). С другой стороны, т.е. r = 1 и a2 + b2 = p. Теорема 2 доказана.

Вопрос о представлении чисел в виде суммы двух квадратов исчерпывается следующим утверждением:
Натуральное число представимо в виде суммы целых чисел тогда и только тогда, когда все простые сомножители вида 4k + 3 входят в разложение этого числа на простые сомножители с четными показателями.

Эйлер и его формула epi = -1

Его [Эйлера] творчество изумительно и в науке беспримерно.

А.Н.Крылов

Однажды, когда я учился в восьмом классе, мой друг и одноклассник написал мне формулу Эйлера, которой я посвящаю этот раздел. Тогда я уже знал, что e — это число: две целых, семь десятых, год рождения Толстого, год рождения Толстого и дальше — другие десятичные знаки, запоминать которые уже необязательно(e = 2,718281828...). Я знал также, что

Разумеется, я имел представление о числе о том, что такое степень, и слышал о том, что i — это какое-то мистическое число, квадрат которого равен -1. Формула Эйлера потрясла меня, как, пожалуй, ничто математическое не потрясало ни до, ни после. Эта формула восхищала не одного меня. Наш знаменитый академик, математик и кораблестроитель Алексей Николаевич Крылов, слова которого я поставил эпиграфом к этому разделу, видел в этой формуле символ единства всей математики, ибо в ней « — 1 представляет арифметику, i — алгебру, геометрию и e — анализ».

Можно очень многое сказать о творце этой формулы Леонарде Эйлере (1707—1783) — гениальном математике, физике, механике и астрономе, прожившем значительную часть своей жизни в России и похороненном в Санкт-Петербурге.

Леонард Эйлер — один из величайших тружеников в истории науки. Ему принадлежит 865 исследований по самым разнообразным проблемам. В 1909 году швейцарское естественнонаучное общество приступило к изданию полного собрания сочинений Эйлера. С тех пор прошел срок больший, чем вся жизнь Эйлера, издано около семидесяти томов его сочинений, а издание еще не закончено.

Переписка Эйлера составляет свыше 3000 писем. Уже одно это — свидетельство необыкновенного нравственного облика ученого: дурным людям писем не пишут. Все ученые, современники Эйлера, делились с ним плодами своих размышлений, просили высказать свое суждение по интересующим их проблемам и всегда находили отклик и поддержку.

Душевная красота Эйлера отразилась во множестве его поступков. В предыдущем разделе я рассказывал о том, как Эйлер старался утвердить приоритет Ферма. Когда молодой Лагранж (о нем речь впереди) посвятил Эйлера в свои исследования в области вариационного исчисления, Эйлер направил ему письмо (от 2 декабря 1759 года, Лагранжу было тогда 23 года), и я не могу не привести его слова, слова высокого духовного благородства:
«Твое аналитическое решение изопериметрической проблемы содержит, насколько я вижу, все, что только можно желать в этой области, и я чрезвычайно рад, что эта теория, которой после моих первых попыток я занимался едва ли не один, доведена до величайшего совершенства. Важность вопроса побудила меня к тому, что я с помощью твоего освещения сам вывел аналитическое решение; я, однако, решил скрывать это, пока ты не опубликуешь свои результаты, так как я никоим образом не хочу отнимать часть заслуженной тобою славы».

Теорема 3. epi = -1.

Доказательство. При доказательстве мы будем использовать следующую формулу (она носит название бином Ньютона):

где n — натуральное число,

Как известно,

Применим формулу бинома Ньютона:

(здесь мы выписали только несколько первых членов разложения). Перейдем в обеих частях равенства к пределу при и получим следующее разложение в ряд:

Поясним, почему формальный переход к пределу дает такой ряд. Поскольку (k + 1)-е слагаемое имеет вид

и при сомножители в числителе стремятся к 1, то (k + 1)-е слагаемое стремится к Конечно, с точки зрения современного математика, этот предельный переход необходимо строго обосновать. Но во времена Эйлера к вопросу о правомерности преобразований подходили довольно свободно. Сам Эйлер в подобных случаях поступал очень смело и практически всегда оказывался прав.

Рассуждая аналогично, можно получить разложение

Это разложение впервые было получено именно Эйлером, и в его честь число e получило свое обозначение: e есть первая буква фамилии Euler.

Еще задолго до Эйлера были известны разложения в ряд синуса и косинуса:

Гениальная идея Эйлера состоит в том, что формулу для ex можно применять не только к действительным, но и к комплексным числам:

где z — произвольное комплексное число. Подставим в эту формулу (где i — мнимая единица, т.е. i2 = -1):

Теорема З доказана.

Позднее, когда появилась строгая теория рядов, подобные выводы, восходящие к Эйлеру, были подтверждены, а все преобразования признаны законными.

(Продолжение следует)

Зюзинцев Алексей( zuzale1@pochtamt.ru)
20.3.2002 13:20
Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства.

Бертран Рассел

Качина Анна
20.3.2002 13:18
Выражение Архимеда:«Дайте мне точку опоры, и я поверну Землю».

шалабода Алексей( alex1361@yandex.ru)
19.3.2002 14:2
ВСЕМ.ВСЕМ.23 МАРТА ВСТРЕЧА 11Б КЛАССА.ЯВКА ОБЯЗАТЕЛЬНА...

Шалабода Алексей( alex1361@yandex.ru)
19.3.2002 13:15
Неужели Викто Леонидович вы заглянули в телеконференцию.Не прошло и года.......

Виктор Леонидович
18.3.2002 16:47
Алексей, "хоть раз в жизни" я обязательно загляну на свою телеконференцию и, возможно, напишу тебе ответ.

Шалабода Алексей( alex1361@yandex.ru)
18.3.2002 13:30
Здравствуйте Ув. Виктор Леонидович проверьте хоть раз в жизни свою телеконференцию и напишите мне что-нибудь.......Кстати когда там встреча класса. Надо срочно всех собирать.Передайте привет Вадиму Николаевичу.

Шалабода Алексей( alex1361@yandex.ru)
15.3.2002 11:44
Виктор Леонидович я сдал все экзамены. Теперь я свободен как птица.Передавайте привет Нине Ивановне.................И всему 11б классу

Виктор Леонидович
13.3.2002 12:59
Антон, почту проверю под вечер. Здесь у меня нет доступа к ящику.

Anton
13.3.2002 11:42
Виктор Леонидович проверьте свою почту!

Шалабода Алексей( alex1361@yandex.ru)
11.3.2002 15:37
Виктор Леонидович надо голову оторвать этому floodу, чтобы он мои сообщения не стирал.

Зюзинцев Алексей( zuzale1@pochtamt.ru)
7.3.2002 20:16
Виктор Леонидович где у вас тут билеты по информатике? И есть ли они вообще?

Виктор Леонидович( school136@pstu.ac.ru)
2.3.2002 9:30
Ну, flood2, погоди!!! Всю информацию из телеконференции стер! Есть хорошая реклама: "А Вы подготовились к потере данных?". Я на этой странице не успел сохранить информацию...

flood( flood)
1.3.2002 0:5
flood